位运算只能做题？加法位运算的意义有多大

要说位运算这个话题，我们必须先从一个牛人说起。

这个牛人是莱布尼茨。我们先来看一下百度百科：
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年7月1日－1716年11月14日），德国哲学家、数学家，是历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。
他本人是一名律师，经常往返于各大城镇，他许多的公式都是在颠簸的马车上完成的，他也自称具有男爵的贵族身份。
莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位。在数学上，他和艾萨克·牛顿先后独立发现了微积分，而且他所使用的微积分的数学符号被更广泛的使用，莱布尼茨所发明的符号被普遍认为更综合，适用范围更加广泛。莱布尼茨还发现并完善了二进制。
看到了吗？“发现并完善了二进制”。因此位运算能有今天，还是离不开莱布尼茨的贡献。

那么莱布尼茨的二进制翻译成中文大概就长这样，我们小学就学过10进制与2进制的转换：
2 = "10"; 17 = "10001"; 108 = "110110";

而这一点早期依靠晶体管首次在集成电路上被大规模实现，位之间的“与”“或”“非”运算以2进制为前提构成了计算机的CPU。
今天你看见的Core i9、M1之类的芯片，其实大公司们比的就是谁的与或非算得快、算得多。
因此，位运算也是计算机的运算符中速度最快的一种。

我们今天就来讲一讲：位运算有什么用？

很多人在很多平台用很多方式讲过很多种位运算的机制，如果你看过其中的一篇或数篇，大多数情况下它既不会提你的胃口，也不会让你从此爱上计算机科学，甚至可能给你留下阴影。

这一点是正常的。假如计算机有灵魂，那么它看到你的第一个瞬间应该就会想：
“这人咋回事？为什么Ta算加法靠存储就能完成？”——这和你第一回看见CPU内部构造时的看法应该是相同的。

如果你在街上看见一个人（在哪里看见都可以），这个人用位运算解决一切生活问题，那这个人多半是从精神病院跑出来的（如果他连交谈都不离位运算的话）。因此位运算并不是什么强大的理论，它只是计算机世界中形同人类四则运算一样的东西。
同样，假如哪一个人从硬件方面发明了以加减乘除为基础运算的计算机，那这台机子也绝对是计算机里的异类。

以后你有了孩子，也许你可以从0和1开始教他数学——不知道结果会怎么样（建议你试试）。

对于一个正常人来说，对2个整数进行位运算有以下几个步骤——举个例子——计算17 or 47的值：
1. 把两个整数化为2进制——17 = “10001”；47 = “101111”.
2. 计算——“010001” or “101111” = “111111”.（先往下看，不要在意计算过程）
3. 转为10进制——“111111” = 63.
最后，我们便得出：17 or 47 = 63.

位运算最底层的逻辑运算符有3个：and、or和not。一般我们这么使用(x与y均为0或1)：

x and y，一般记为x&y，将二进制下的x和y的进行and运算。
其中，x与y之间的and运算遵循原则“有0出0，全1出1”，也就是说，一旦x和y有一个是0，就返回0；只有x=y=1时，才返回1。这个规则恰好返回x*y的积。

x or y，一般记为x|y，将二进制下的x和y的进行or运算。
其中，x与y之间的or运算遵循原则“有1出1，全0出0”，也就是说，一旦x和y有一个是1，就返回1；只有x=y=0时，才返回0。

not x，一般记为!x，将二进制下的x求反。
当x=0时，!x=1，当x=1时，!x=0。

为了帮助理解，我们用生活中的实际应用来解释这些逻辑运算符。

假如一所A学校，他们的招生方式如下：
“我们想要的学生，中考分数大于705，并且语文分数大于130。”

这里的“并且”，其实就是and运算。一个总分710，语文132的考生显然符合条件；但是如果语文只有125，或者总分连700都没有，那他只能和A校无缘了。这实际上应用了and运算的性质：假如考生总分未上705，那么KO；如果他上了705的话，继续考虑语文。如果语文也让人满意，那么他就可以参加面试了！
（这是一所什么学校啊？！）

再假如一家B公司，他们希望找到这样的人：
“我们的程序员，应该是985，或者是个博士。”（不看专业的吗？）

“或者”其实就是or运算。假如一个北大才女过来，那么程序员们一定欢迎她（是因为这个么？）；一个普通大学的博士也可以，但是可能没人和他做朋友；但是假如只是普通大学的本科毕业，那么就不行了。
我们也会遇到像毕导这样的985博士，这个时候显然公司巴不得他加入。上述情况归纳起来就是：假如两个条件都不符合，我们才会返回“否”。

如果C公司不太喜欢A校，它的条件是：
“如果你不是从A校高中毕业，你就可以来。”（初中毕业也行吗？）
这一点一目了然了：如果你是A校的，那么即使你中考语文150，人家也不会要你。

有时，这些运算符可以搭配使用。例如：
D公司想要的人，不是C公司的，但是必须高中毕业。
那么这里的条件无非就是：(!在C公司工作) and 高中毕业。

那么我们回归主题。了解了0和1之间的位运算，我们下面来看一下整数之间的位运算。

我先问个小问题：在二进制下如何不用负号表示-1？
这个问题其实很久以前就有答案了：答案很流氓——它似乎在对你说“你管我怎么弄出来的，我行就是了”。
（像极了某些数学证明）

很久以前的答案就是：二进制所有（无限个）数位全部都是1时，它表示的值可以看作-1。
你可能要问：为什么？
其实这种表示方法相当自洽：我们知道，(-1) + 1 = 0。二进制下的0是啥？所有数位都是0时，值就是0。
当我们对这个全是1的数再+1的时候，这些1全部进位，凡是有1的地方都变成了0。如果一个全都是1的数，所有数位变成了0，那么它就表示0。
因此我们认为这种方法可以表示负整数。

在有限个数位的存储器中，我们一般用64个数位存储一个数字。我们将这些数位从个位开始，从右至左标号0~31，再从左到右标号0~(-32)。第31位被认为是符号位，当存储数据为负数时，第31位为1，正数则为0。
而整数一般只占32位，因此我们只用4个字节（32 bit）存储整数。
因此1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111就是-1在32-bit下的存储值。

因此a and b，我们认为它是a和b的每一个数位都取and运算后返回的数c。比如，3 and 2 = 2。
同样，a or b，也可以将每一个数位or运算。比如，3 or 5 = 7。
not a，我们记作~a。在任何情况下，~a = -a-1。

那么，位运算有什么用呢？

你可能已经注意到了——计算机基于位运算，而计算机可以算加法，说明我们可以用位运算实现加法。

很显然，我们要算两个整数之和，就要把对应数位的和全部放进新数里。我们假设10+45=c，a是数位中允许2存在的二进制数。
10和45在2进制下是1010和101101
将每一个数位分别相加，我们得到c="102111"。将所有2都进位，易得，c=110111，也就是55。

因此我们只需考虑0和1之间的加法。这一点我们列一下所有情况就知道了。
0+1=01，1+0=01，1+1=10，0+0=00。
首先，十位只有1+1时才为1，而这恰好符合and运算性质。
其次，个位在a与b不相同时返回1，否则返回0。

十位很简单，个位怎么办？又有一群神人给出了答案：他们命名一个运算符a^b，读作a“异或”b。

而异或公式被他们硬是想了出来：a^b = (a & ~b) | (b & ~a)

因此加法问题被解决。电子计算器也随之被发明。CPU的计算实际上也就是将两个数加起来返回罢了。位运算是人类通往计算机科学和互联网的大门。

我的分享到这里，谢谢朋友们！